2024年12月31日，由中国科学院学部工作局、上海市科学技术委员会、上海广播电视台主办，中国科学院物理研究所、中国科学院计算机网络信息中心、中国科学院上海分院、新浪集团承办，微博、新浪新闻、国家开放大学出版传媒集团协办的“复兴路上的科学力量——中国科学院2025跨年科学演讲”面向全网播出。
当晚，中国科学院物理研究所曹则贤研究员开讲《经典力学：与数学创造同行》。现将演讲全文内容整理如下，个别字词稍有改动。由于微信字数限制，全文将分为上下两部分推送，本文为上篇，包含开篇词、萌芽态的力学、圆锥曲线、牛顿运动定律与万有引力、物理量与运动的描述五部分内容。下篇详见今日的第二条推送，包含“坡”问题、虚功原理、达朗伯原理、高斯的最小约束原理、转动坐标系/刚体、莫珀替原理、拉格朗日力学、勒让德变换、哈密顿力学、哈密顿-雅可比理论、经典力学更多话题、结束语十一部分内容。
演讲的幻灯片文件可在中科院物理所微信公众号后台回复“2025跨年演讲”获取。
开篇词
现场尊敬的嘉宾，远方屏幕前的朋友，大家晚上好！欢迎关注 2025 跨年科学演讲，我是演讲人曹则贤，来自中国科学院物理研究所。
今天我要聊的话题叫“经典力学：与数学创造同行”，也叫“经典力学：原理发现之旅”，待会我会讲为什么会有这样两个题目。
本次演讲的原文件有296 页 PPT，我肯定讲不完，之后中国科学院物理研究所会将 PPT 连同今天我的发言稿，统一整理起来向社会公布。各地的大学生、中学生，尤其是老师朋友们，如果发现 PPT 有可取之处，请随意采用。
我说我们这个 PPT 是希望能够做到抛砖引玉，我的朋友说这是抛砖引“菜”！能引出菜也行。借助这样一个演讲活动，我特别想传达一个事实——学物理、研究物理、教物理，我们是认真的。
为什么我们干这件事情？很久以前有一位泊松男爵，他说过一句话：生命之美好就在于两件事，做数学和教数学。
后来我查了一下文献，我猜他估计是说错了，应该是做物理和教物理。
本人已经做过 5 年的跨年科学演讲了，今年第 6 年讲经典力学。但是物理学博大精深，内容实在是太多了，所以如果还有机会，我们希望能够进一步延续活动，接下来去讲数学物理、物理实验、仪器物理、原子物理等，甚至是物理学家、后物理学 metaphysics，我们没有把它翻译成“形而上学”，这个形而上学，过去我们是当做一个负面的哲学批判的，但其实它是非常有用的一门学问。
首先强调一点，很多人跟我讲，现在可能已经习惯了我的演讲 PPT 里满页跑洋文，我想说一下，我们这样做是想强调知识的原始表达，提倡一种正确的引用，免得引起误解，最重要的也是为了方便我们广大的学习者和研究者去获取原始文献。
说到这里，我们就不得不说母语的问题，以及在世界各地兴起的保护母语的运动。我特别想强调的事情是：一门语言，如果它不能适应社会的发展，不能够有效地去传承文化，它的消亡可能是必然的。
因此如果我们想要保护我们的母语，最重要的是，我们一定要去创造引领世界的文化，让我们的母语成为文化的载体。我就想说这一句：你要是贡献了文化，你就保护了母语。
那么对于物理学科，我先讲讲物理学科的一些特性。1934 年的时候，爱因斯坦把物理学分成了“原理性的理论”和“构造性的理论”。像量子力学、电动力学大概都属于构造性的学问，像热力学、相对论，这都是明显的原理性学问。
而我们的经典力学作为最原始的学问，它是在摸索中逐渐成长起来的。它是一门原理性学问，也是其他物理学问的基础，因此它也就显得更困难。
我特别想说一个在我们的社会流传、我个人觉得好像不那么正确的一种认识——觉得像量子力学、相对论、规范场论是比较高级的，其学问是难的，而经典力学好像是基础的、简单的。这可能是误解！经典力学是我们最原初的科学理论，在它的发展过程中，除了要去定义概念，定义物理量以外，还要同时自己去发展出它所需要的数学，以及慢慢地把自己提升到原理的层面，因此经典力学才是博大精深的！
我可以负责任地说，如果大家能够把经典力学学到非常精通的程度，你会发现构造量子力学、构造相对论是一个水到渠成的过程。
我们看看这几个原理性的学问，你会发现如果你把握了它的原理，那么都会特别好理解。比方说热力学，最重要的是卡诺原理，用大白话说就是：凡是不以做功为目的的传热都是浪费；那像规范场论呢？它有规范原理，用大白话说就是：一个物理理论的对称性要有冗余；那么相对论的原理就是相对性原理，它说的是：物理理论与参照框架无关，物理理论的表达与你所选用的坐标系无关。
至于说到我们经典力学，你看和其他理论就不太一样了，它的原理比较多，我捡三个重要的指出来，是虚功原理、最小作用原理和达朗伯原理。那么这样的几个原理，如果你要想用一句大白话把它总结的话，非常有趣——我们的道德经老祖宗给准备了现成的一句，叫“致虚极，守静笃”。
虚，而且还要到极致。大家如果理解了我们的经典力学里面最重要的虚功原理是怎么个“虚”法，而且要求极值、做到极致。大家就明白了经典力学是怎么构造的，也就是致虚极、守静笃。
我们看物理学的时候，不要把物理学分得那么清楚，不要对具体的学问起分别心，因为真正的学问它一定是什么？是个统一的、有机的一个整体。在物理学里面我们还是要看到“同一（Unit）”，或者说德语的 Einheitlichkeit，这个词是非常重要的。
我们看一个视频（视频内容是一位演奏者将小提琴当做二胡进行演奏，编者按），请问大家这是什么乐器？如果你认为是小提琴，你就没看到一。
（本页 PPT 右边视频的内容是一位演奏者用一根琴弦演奏乐曲，编者按。）我想借此说一下理解学问的层次：对于右边这位先生弹的琴，第一个层次大概是听到了琴声，第二个层次是你看到了琴，第三个层次是你看到它是一根琴弦，再往上的层次你要看到“一”，当然层次再高，是什么样我就不知道了。
不要光听到琴声，也要看到音。
对于物理学研究的特点，我没想到会在一出河南的地方戏里，找到了一个非常好的比喻。有这么一出地方戏，叫《李天宝吊孝》，是说一个青年男子，他的未婚妻因病去世了——很伤心的一件事，他去吊孝，到了门口就大哭一声，一声哭出来以后，突然发现有问题了——他不知道怎么称呼这个女孩子，要是他称呼“姐”，人家女孩比他年轻，这不对；他要是称呼“妹妹”，这也不对，因为你其实是婚姻关系，这是个很重要的关系，所以你才能来吊孝的。然后他想，我要是尊重她，称呼她为妻子，这好像与事实也不符——人家没过门。
所以说这就是非常尴尬的一个局面。对于这种尴尬局面，他最后就想到了一个原则：就是从第一性原理出发！说，按照逝者为大的原则，即尊敬，先喊“姐”表示尊敬，然后将其作为妻子来哭，以表示对婚姻关系的认同。
那么比较看我们物理研究的情景，大概就是这个样子。
当我们面对一个物理情景的时候，我们要表示它，你要创造定义，创造概念，你还要发明一套记号，这套记号比较严谨，要遵循某些逻辑。而且其实这不仅遵从逻辑，那里面的不同对象之间还可能有一些微妙的关系，比方说我们学量子力学，都会说一对算符之间是个共轭关系，共轭关系 conjugation，也就是婚姻关系。它表示看似是个独立的个体——放在社会里它是独立的个体，但是同时它们又有一种什么对偶关系。
那么面对物理情形的时候，我们物理学研究也说，最后要遵循一个“第一性原理”。物理学的最高层次是要把它公理化，就是要讲理讲到极致。
物理有一个特点，就是要用到很多的数学。在我讲电动力学的时候，我说了一句话：因为满是数学，所以容易明白。前两天在国科大讲课的时候，有一位女生上来跟我说：“曹老师我终于考上科学院的研究生了。我当年在考电动力学的时候非常发愁，就是听了你的讲座，听到了这一句：因为满是数学，所以容易明白。然后我一下子感到释然了，所以我经过努力学习，终于也考过了电动力学。我终于成为了科学院的研究生。”
现在我们回归正题，我们说力学，mechanic 或 mechanics，我们汉语把它翻译成机械或者机械观，或者有人把 mechanics 就翻译成了力学，我们社会也有“四大力学”的说法。
但是我们看看，当我们读到这些词概念， mechanics of heat、mechanics of electricity、mechanics of atom、theory of quanta，就发现这里面的 mechanics 都不能简单地翻译成力学，它不是力学。
那么到底 mechanics 怎么理解？后来我在大神马赫的一本书里读到了他的这么一句：mechanical 这个词和“唯象的”这个词是作为相对的。也就是说，我们关于世界的理论有两个层次，一个层次是唯象的——我们就事说事。那么 mechanics 的意思就是说，你要深入到下一层次，要追问它的道理。
所以说当我们学习杠杆平衡的时候——大家都知道在我们中国的初中会学杠杆原理，但如果你在学杠杆原理，你看到了虚功原理，并且把它提升到哈密顿-雅可比方程的层次呢？这个大概就算你学会了 mechanics，所以说 mechanics 是什么意思？我觉得它大体上相当于我们汉语的“道”。
所以说我就发现，我们中国人对于学问的要求是非常高的。我们平常说话的时候就会问，你知道不知道？大家想一下这个要求是蛮高的，“你知道不知道”大概可以理解为“你到底懂不懂力学”。
那么力学 mechanics 或者“道”到底是什么？你会发现我们的《道德经》里面有一句话叫“天之道”，天道是什么？天道就是“损有余而补不足”，损是什么？损是减号。
我们会看到经典力学最高的原理就是讲一个“减”——动能和势能之差，以及积分的变分为 0之类的。这个道理比较深，但是里面有个关键的地方，那就是“损”，中间是个负号！待会我会细讲这里面的道理在哪。
力学关注的还有一个重要的东西，实际上是叫运动或者叫变化，那么“易之道”和mechanics到底又是什么关系呢？我们看孔老夫子在《易传》里面有这么一句，“天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物”，“君子以”被某些人理解为“一个君子用什么”，其实很难解释通。我们来看看他到底说的什么意思。
天行，行是 motion，健是指乾卦，君子以自强不息。自强和不息，两个是并排的，他的意思是说，乾卦的天所运行的特征，或者说支配它的道理。君子以，“君”是动词，支配它的道理是什么？支配它的道理是自强不息，这大概正好是我们动能的特征。地势坤，君子以厚德载物，坤卦的势，它的特征是什么？是厚德载物，你看恰恰是我们势能的特征。（“君”是动词，“支配”的意思，这里的解释中将“君子”的“子”理解为“之”，是一个代词，代指前面的“天”和“地”。编者按。）
我这么解释是有根据的，因为你读这篇《易传》，你读到别的地方的“君子以”的时候，也都是这个意思，你看“君子以经纶”，意思是说什么？天上有云彩，打雷的时候的特征是严密，密云不雨；山崖出泉，蒙卦说的是“君子以果行育德”，就是说山下出泉水，它的特征是什么东西呢？它的特征是俭行养德，所以说“君子以”的“君”是动词。
我这个说法不一定对，供大家讨论。所以说运动的道理，我们待会就会知道，是动能和势能之差，然后积分的变分要等于 0，这是历史，这是运动的基本道理，是所谓的天道。
西方是怎么认识力学的？亚里斯多德说，mechanics 就是那些帮助我们克服困难的工艺、技艺，就是一开始你怎么用杠杆、怎么用滑轮这些技艺，但是这些技艺帮助我们克服了困难，当我们把这些 mechanics 里面的道理和发现上升到数学能表达的形式，从一开始的这些杠杆滑轮，经过抛石机这种机械，我们上升到方程或者是哈密顿-雅可比方程的时候，我们就完成了力学。
大家看我这些图，最后一张是用的是火车，这是为什么？待会我们会回到这个话题。
那什么是经典力学？经典力学很有意思，经典力学是出现在量子力学之前。这个道理很简单，就像现在很多家的孩子，老大叫大宝，大宝的出现一定是在老二之后，因为什么？是生了老二以后，老大才被称大宝的。那么在这里也是一样，1924 年量子力学出现以后，在这之前的力学被称为是经典力学；1916 年广义相对论被推广了以后，称为广义相对论，才把以前的相对论贴了一个狭义的标签。
那么在量子力学出现以前，力学叫什么？叫牛顿力学，叫理论力学，叫分析力学，还会有一个重要的词叫理性力学，理性力学在中国有些书里会这么说，虽然表示很少，但是它非常重要。
经典的力学和量子力学有什么关系呢？一些不太负责任的书里都会说“量子力学是对经典力学的革命”，我负责任告诉大家，不管是爱因斯坦还是普朗克，在当初构造量子论的时候，他们的论文里从来没有“革命性”的表述，或者试图用“革命性”来表述，而且在玻恩创造量子力学的时候，你看人家说的非常清楚：表达一个关于量子的力学，要尽可能地如人们所愿的那样与经典的类似。
新的量子力学要尽可能表达的和经典力学类似，而不是去闹什么革命。所以说经典力学不是对量子力学的革命，而且重要的是，在文献里都会特别强调，这次是对经典力学的 Umdeutung。什么意思？就是对经典力学的转译、对它的重新诠释、对它的提升，而不是什么革命。所以我这里说一个开玩笑的，如果有一个人对经典力学不屑一顾，他跟你谈论大谈量子力学，请你一定要顺着他话说，就不要跟他争辩。
从经典力学到统计力学、量子力学，其中没有任何概念上的跃变，这一点是我后来认识到的。那么大家如果觉得这个不好理解的话，我再给大家举个例子，动物和植物之间其实也没有严谨的界限，你看这海里就有一种动物，也是植物（视频中播放的是一只非常可爱的海兔，它静止的时候就像海底的植物，但也会迈着它微小的步伐，在海底缓缓移动、觅食，果真是“静若处子动如兔”。编者按。）
大家想想，生物和植物之间都没有严格的界限，经典力学和量子力学中间哪有严格的界限？
刚才提到经典力学还有一个重要的称呼叫“理性力学”，比方说这是我给大家找的几本法文版的理性力学。
在意大利，经典力学也更多地被称为理性力学。而如果大家学习意大利人写的理性力学的话，你就会发现它更加容易带你走向广义相对论。因为爱因斯坦的广义相对论后面的理论，更多地是由一帮子从德国慕尼黑毕业的意大利学派的人完成的。
那么经典力学的精神到底是什么？我把它总结出来就是“带镣铐舞蹈的艺术”，为什么呢？因为我们经典力学的学问不是研究简单的自由粒子的运动，它研究的恰恰是在约束条件下的运动。
这一点我们一定要大家理解——就是说，我们社会上经常会给大家谈论自由不是无边界的，是要有一定约束条件的，但是怎么处理约束条件下的运动，这是一门科学。
因此经典力学就是这样一门学问，我把它比作“戴镣铐的艺术”，那么在我们中国有一个特别具象的一门艺术，会跟你讲在有约束的条件下如何运动，而且还要发挥出最大的战力，也就是求极值。
这样的一个艺术呢，是我们中华武术里面特别著名的，叫脱铐拳，大家看它是要在被约束的条件下讲究如何运动，发挥出最大效果，这是经典力学的精髓（视频播放的是一位武者，在双手被束缚的情况下表演出一段非常精彩的武术。编者按）。
那么怎么在约束的条件下去求一个最大值？这样最后就转化成了一个对积分求变分的问题，就是我们在理论力学课里学到的著名的欧拉-拉格朗日方程，为此当然你要发展数学。
如果让我去总结经典力学的一个关键词的话，那就是“虚”，这个虚出现在虚位移、虚功、虚速度、虚功函数、虚力，甚至上升到虚力学的说法。那么“虚”字用一个特殊的希腊语字母的来表示，那么它大概是什么意思？
它大概等同于数学实验，也就是说一个函数，你对它做虚位移，实际上是产生一个新的函数，这个暂时说不清楚，但是我想跟大家说的是，慢慢地，我们往下会多提供点信息。
我想给大家说的是,我们中文里面会遇到两个不同的虚，一个是我们数学的时候会遇到虚数，解方程会遇到虚数，请大家不要用汉语的虚头巴脑的虚去理解它。反而是当虚数被引入的时候，数学家们就一再强调Imaginary is real，虚数才是实的。
虚功原理一开始引进来的词叫virtual，但是虚功原理被引进的时候，物理学家也是一再给你强调它才是实的，所以 What is actual？大家一定要理解，Virtual is actual!
而且碰巧的是，发展了虚数数学的，和发展了虚功原理的，是同一帮人，包括欧拉、高斯、哈密顿，他们都是理解虚数和虚功的高人。让大家一时理解“虚就是实”不太容易，我只是提醒大家，不要把虚位移和实位移给弄对立了就行。那么 表示的是虚位移，它和实位移的 d，是可以交换的，在你运算的时候这俩是可以交换的。
要理解这里面的虚和实，我倒觉得《红楼梦》里面这一副对联大概说的特别好：假作真时真亦假，无为有处有还无。正好是解释这个，一个是虚位移的虚，一个是虚数的虚，不是那么好理解，但是我提醒大家有这么回事。
对于经典力学，我想跟大家说的是它首先是一门什么？首先是一门哲学，为什么？我们简单地把经典力学分成4 个层次，第一个层次就是所谓的牛顿定理，那么第二个层次的方程就是欧拉-拉格朗日方程，第三个层次就是哈密顿正则方程，第四层就是哈密顿-雅可比方程。
首先看第一个层次，我们都知道牛顿的第二定律说的就是因果律，你给一个力，它就带来了一个运动的改变，就是你杵一下我就唉一声，这就是简单的因果律。但是到了欧拉-拉格朗日方程的话，它就是个经济原理了，说的什么？说的是这个世界上运行的东西，一定是某一个称为作用、称为action的东西，要取极值，取最小值——一般说要取最小值——这就是经济学原理了。
那么到哈密顿正则方程，这个时候就会告诉你，我的注意力都在形式上了，不仅这个方程是一定要保持这个样子，而且这个方程你给它做变化以后，最后你还得给我保持这个样子，这时候就是一种形式即内容的哲学。
哈密顿-雅可比方程它说的是什么？它说的是要变换，还要不变变换，而且是不变变换里的某些变换才能够有助于你提升，把学问提升到这个层次，这就是讲究到了这个形式与超越的问题。
所以说大家学经典力学的时候，当你读到这样一句说：作用变量是一种非渡越不变量——你看，变量是不变量——这个时候你觉得很熟悉，而且特别容易接受，那大概经典力学你就入门了。记住，变量是不变量！这句话不好理解，以后慢慢学它。
可能很多人没注意到，经典力学，还有一个叫法：几何力学。经典力学是一门几何，我们看它的数学还是这 4 个层次的方程，你看第一个层次的牛顿第二定律，它是有微分，而且是牛顿老师专门发展出来的微积分。我们大家都知道第二层欧拉-拉格朗日方程这就是变分，拉格朗日展示了变分学。
到第三个层次哈密顿正则方程的时候，这时候就有变换理论，要出现辛几何。至于哈密顿-雅克比方程呢？那就会需要更多的微分方程理论，然后还有形式变分理论，然后还会有什么李群理论等等，数学就更高了。
最酷的是经典力学，我刚才讲它本质上是经济学，是 economics，为什么？因为它讲究重要的几个原理，包括光学的最短光程原理。我们知道有 optical mechanics，光学和力学是一家！它们是一个学问。所以说费马原理，也会被改造到我们的经典力学里的莫珀替的最小作用原理，甚至包括高斯的最小约束原理。
那么说到最小作用量原理的一个忠实的执行者，不得不提这样一种动物，叫凤头雨燕。我们看凤头雨燕的窝，它的窝的大小只能让一颗蛋勉强放进去不掉下来。也就是说它要是把窝多做一点，都是对我们经典力学的不尊重，我觉得它对原理理解得太棒了！
今年准备经典力学是特别费劲的，为什么？就是经典力学的学问太多了，这里面牵扯到的每一个名字都是如雷贯耳，我不能给大家念，但是我要特别提出，这里面竟然有两位是女士，一位是沙特莱侯爵夫人，一位是近代的艾米·诺特小姐。
艾米·诺特小姐还被尊称为近世代数之父，一个姑娘家能把数学做到了被人称呼代数之父的程度，大家可以想象这有多厉害，最重要的是艾米·诺特小姐大学是文科毕业。特别感慨，我们的培养课程尤其是我们女科学家培养课程里面，我觉得要多介绍这两位成就到抽象层次的女科学家的学问。
我负责任地说我没有能力给大家讲懂，而且我也不太相信大家在几个小时的讲座里面就能够学懂，但是重要的不是说你听一遍就学懂，而是说你要听说过，这一点非常重要！非常高兴，我觉得这个理念很多从我们物理所毕业的人都能够接受，就是说：我可以学不懂，但是我要知道。
这些年的讲座里面，我们一些物理所毕业的子弟，他们的二代三代，主要是二代，都能够坚持听我的讲座。据说此刻在浙江的宁波就有我们物理所的毕业生的一对双胞胎女儿，10岁的女儿，又在坚持听我的讲座，我非常高兴，真的！我再强调一遍：我希望我们的科学家培养计划里面，尤其是女科学家培养的计划里面多讲讲这两位学问做到抽象层次的女科学家，待会我会细讲她们的成就。
经典力学一些关键点上，也有这些大师写的著作，这些著作绝对比我们在大学里学的理论力学的课本好懂得多，但前提是你要认得这些字。但是我负责任地说，创造这些学问的人是能够把事情讲清楚的，这也是我这些年读书读了几十年，终于有一天明白的。
在你读书的时候，如果关于某个问题的描述，你一遍一遍读不懂，这事情不怪你，一定是写书的那个人不懂，所以说这时候正确的方式就是把这本书扔了，换一本。你会发现不管是多困难的学问，世界上一定有一个人，他是上来几句话就能跟你说清楚的。
那么关于经典力学的认识问题，在我们国家的关于经典力学认识的问题上，我觉得我们很多话是大的，比方说刘慈欣先生的《三体》里面——我不知道这是不是三体小说里面的原话——当我们批判这位叶哲泰教授的时候，有一句话，“叶哲泰，你老实交代你是不是精通各种力学？”
精通各种力学？我想说的是你要能听说过各种力学都是吹牛，因为什么呢？各种经典力学发展到上个世纪之初的时候，你会发现冒出了电子力学，冒出了索末菲的超力学。1923 年、1924 年玻恩讲授原子力学，然后才悟出来说需要一门新的力学，1924 年 6 月 13 号，他的论文里面给创造了这个新词，叫量子力学。
读到一句，有某学者说“牛顿花了 30 年发现了万有引力，我花了三个月搞明白了万有引力定律”。我看到这句话的时候，我也真的十分感慨，牛顿确实是花了 30 年发现万有引力，但是他花了三个月就搞明白了万有引力定律，我觉得不太可信，为什么？因为在我们这个世界范围的专业物理圈里面，大概搞明白万有引力的人就没几个人。
牛顿的这本关于他的万有引力和运动定律的书《自然哲学的数学原理》，一般人是看不懂的，所以说才有著名的诺奖得主印度人钱德拉塞卡，给我们写了一本Newton's "principle" for the common people，就是给我们普通人解释一下牛顿的这本自然哲学原理，这个写给普通人的科普本，一般的物理教授也是看不懂的。所以说，大家误以为牛顿的万有引力很简单，牛顿万有引力可不简单！待会我会给大家证明。
为什么能看出不简单呢？我们大家想一下，为了写这个问题，牛顿是发展了微积分，这本书的 "principia" 是在英文表达里被称为the book的，前面要加定冠词的，而牛顿发展的数学方法——微积分也是要加定冠词 the 的。各位要考英语的学生记住了！这两个前面是一定要加定冠词 the 的，你想象一下这个学问要深到什么程度，你三个月就搞明白了？
我想说的是牛顿要是如我们理解的那样浅薄的话，他就不是牛顿了。
对于经典力学的深浅，从运动角度，从所用的数学的角度，以及从处理的问题是单体、两体、少体、多体，还是连续体——连续体是简单的流体、可压缩流体，还是再另外加电荷的流体——来看，复杂程度都是很高的。
这里面随便拽出哪一本，比方说就是一个稀薄流体的动力学问题，都是很难的。在我们物理所的马路对面就有著名的科学院的力学研究所，而力学研究所做的某一个方向，就是简单的产生高速流体，那点成就就足以支撑我们国家在某些方面能够处于世界领先地位！所以不是那么简单的事情。
关于力学的认识问题，对于我们国家的力学教育，我个人觉得还是有点担忧的，我们看我们中学里面的教科书或者考试题里面，有人认为力学是这个样子的（第一张图），那么我们看 300 年前意大利人的力学是什么样子的（右边的图），这是 300 年前意大利的普通书里面的，你看人家力学是什么样子。再看 100 年前维也纳中学里面教的力学是什么样子的（左下的图），大家比一下这三个图大概就能看出差别了。
所以说我觉得不管是学习的目的，还是学习的境界的问题，尤其是我们的孩子还很小的时候，我们要给孩子们讲清楚学习目的和学习境界的问题了。
因为我个人觉得，如果学习的目的、学习的境界、对学会的标准不同的话，最终会影响你的学习效果，会影响学习人的气质的。我特别欣赏脱口秀里面的一段关于会不会游泳的判据，张彩玲的二姨夫的标准是：我要不能够驾驭水，这就不算我会游泳；而张彩玲老公的标准是：水要没淹死我，那就算我会游泳。
大家看这两种关于游泳的判据，它的差别还是非常大的，我觉得我们还是要把学习的境界和要求提高一点，因为这个讲座非常长，我不可能把它讲完，所以说我讲一页纸的经典力学，就这一页记住了，就算我讲完了。
那么第一步，就是人们观察运动，提出的像速度、动量、虚位移、功、活力、势等概念，然后从实用方面又是制造机械试图省力，然后有杠杆原理、平衡条件、虚功原理等等，这是一开始干的事情。
那么牛顿时代就有牛顿的第二定律，然后有法国人的达朗伯原理，然后由法国人莫珀替等人提出的最小作用原理。最后有一个关于从坡上滚东西的这样一个问题，我管它叫“坡问题”，就引出了第五层次的定积分的极值问题，就引出了欧拉-拉格朗日方程。然后英国哈密顿把它提升到哈密顿原理，说动力学就是拉格朗日量的作用泛函的变分问题，我会给大家解释这什么意思。
然后第七层次就有了哈密顿力学正则方程。到第八层次，一个德国人雅可比进来了，有了哈密顿-雅可比理论，有了正则变换理论，引入作用-角变量，这样的话你就可以用于扰动论，去解天体问题，然后可以把它用来发展相对论的量子力学。
也就是说当你将 7、 8 两个问题，也就是哈密顿正则方程、哈密顿-雅可比理论很熟的时候，你再去看量子力学、相对论，你就知道人家整天在干什么，人家当初原始论文在推导什么，就能容易理解了。所以经典力学基本上这就讲完了，接下来的时间我们就是闲聊天了，就不那么烧脑了。
萌芽态的力学
现在我才讲到我讲座的内容提要。我已经讲完了第一部分开篇词：经典力学是什么样的学问。那么现在看萌芽时代的力学。
一开始大家看到的都是运动，有一个很重要的词，西方人总结出来的叫“万物皆流”，就万物都是流动。所以说当初西南的某位教授提出治沙的一个做法的时候，当时我是现场评审专家，我是极力赞成的，因为什么？虽然他用的方法具体怎么样我不知道，但是他的哲学思想是对的。因为沙首先是“流”，治沙首先是解决流的问题，今天我们国家一定在这方面做到了，万物皆流，有这个运动就有人去考虑运动的原因。
古希腊亚里士多德就是说运动是外力造成的，外面有一个驱动力，它动一下，就跟我们人上班似的，人戳你一下，你就往前动一下，不戳你，你就静止了大概。所以古希腊是这么认为的，那么怎么理解下落？他们说物体不同速度下落，就是寻求它的自然位置，是天生的倾向，大家看，这时候虽然有物理学的意识了，但它某种意义上说还是神学。
后来你看，一发展出物理学，把神学剔除出去以后，形而上就慢慢变成了哲学，今天哲学中，与亚里士多德同时代的也比较齐名的，出现在同一幅油画里面的，有一个人叫Strato，Strato 就不同意亚里士多德的观点，他认为不需要一个主动的神来去驱动宇宙的运动，而应该是把宇宙的运行赋予自然本身，这个是一个无意识的东西，也就是说存在自然科学这种东西，natural science。
也是 Strato 给我们造了Physics这个词，这就是我们今天的物理。而与此同时，我们中国在唐朝的时候，有一位著名的物理学家杜甫也说出了那句著名的话叫“物理固自然”，物理就是自然。
那么Strato 做出过什么重要发言？Strato 有一个重要的发现，就是注意到从高处喷出的水或落下的水它是会断的，而这高处落下的水断的话，断的雨滴之间的距离还是越来越大的。于是乎他提出了一个关于运动的分别说——下落是一个加速运动，而不是简单的就叫运动，是加速运动！
在这个时代里呢，人们需要干活，就需要省力，就关注了两种重要的机械 mechanics，一个是杠杆，一个是滑轮。那么关于杠杆就得到了杠杆的平衡条件，这是我们中国的中学教科书里会教的，说平衡条件说就是指点两端的两个力，和各自的臂长相乘，这就是杠杆平衡条件，我们的中学物理教科书里是这么教的。
我请大家注意，如果是仅仅停留在这一步，浅薄太多了，杠杆原理内容多是因为什么？平衡是脆弱的！或者说仅仅在一个极端条件才有平衡，你带着孩子到游乐场去玩跷跷板的时候，整体状态是不平衡才对，对吧？平衡只是一个微妙的状态。
当然了，也不要小瞧平衡，仅仅维持一个杠杆的平衡，也就是我们的杆秤，这里面的科学写一本书都够。当年我们中科院的公开课里面，我有一个专门讲座就讲杆秤，而且我把题目叫做《物理学从不浅薄》。关于杠杆平衡，你写一本书都用不完。
阿基米德除了发现浮力原理以外，他还发现了杠杆的威力，还证明了杠杆定律，使用过重心的概念。我们先看他发现的杠杆的威力是什么，我正好找到一个小视频，看看杠杆的威力在哪里（视频中是一个人拿着一根长杆，将杆靠在护栏上，松手之后杆的上端朝外边落下，内侧一端虽然力臂很短但是由于有速度，将人掀了下去。编者按）。
杠杆威力在哪里？杠杆威力不在臂长是什么，而是速度，那端运动的速度，所以杠杆原理会引入虚速度的概念，那个地方很重要。
那么我们看阿基米德是怎么证明杠杆定律的，特别聪明！他是这么证明的：假如说一个均匀杠杆长度是 的话，那么你在中间支着它肯定平衡的，没问题吧？
好，现在我假设在 中间的地方，我把它分开了，分成两段了，那么你在它们各自的中段加上一个支撑点，它们各自是平衡的，没问题吧？
那么好，这就相当于各自的重量放到各自的支撑点，说明在支撑点上，如果杆是没重量的话，在那两个支撑点放上它们相应重量的东西的话，在原来那个点上是平衡的，于是乎就得出条件， ，这就是杠杆原理！
你看这个证明是非常聪明的，我觉得无论如何要加到我们中学的物理课本里，特别聪明。
另外一个机械就是滑轮，那么我们的重点课本里面是怎样教滑轮的？
用滑轮去吊过东西的时候，重要的是你拉重物那一刻，拉住了那不算本事，拉不住才是问题，才是要研究的科学问题。
也就是说，去拉绳子的时候，你拽着它不让它走，但是你感觉到绳子好像要往上走、要跑，这个地方就可以引入虚位移的概念。而虚位移，请大家记住，它还是实打实的东西，因为你手稍不注意绳子呲溜就蹿上去了。
所以说当我们研究杠杆和滑轮的平衡的时候，请大家记住平衡是脆弱的，是一个极罕见出现的事件，是一个可以用数学方法表示为零概率零测度的构型，不平衡才是常态。
因此你需要的研究是趋势，是一个力学的形态，“它接下来要发什么”这个趋势才是你要研究的对象，这就是所谓的虚位移。古人说的“引而不发，跃如也”大概能表示这种状态，即拉弓的时候很吃劲，但手又没松那个状态，可能和虚位移有关系。
那么我们再看阿基米德的成果，一个是漂浮，一个是杠杆。漂浮的平衡条件是浮力等于重力。杠杆的平衡条件是两侧力乘上力臂后数值相等。我们可以发现，平衡条件等号两边的物理量，第一个等式和第二个等式是不一样的。这两个情形都是平衡，但是却不在同一个平面、一个层次上。这样一来，我们更应该追问平衡到底是什么意思。
平衡不是不运动。对于一个有很多质点组成的体系，平衡是外力之和等于零，外力加的力矩等于零，能匀速运动或者在体系内匀速的转动。
荷兰人斯台文给我们大家区分了什么叫稳定平衡、非稳定平衡、中性平衡。稳定平衡指假设存在虚位移或者发生偏移后，系统能够自己回到原来的位置。非稳定平衡指先发生一个小的位移，这个位移逐渐变大，导致系统离开了原来的位置。中性平衡指拨动系统多远，系统就挪开多远，并且在新的位置保持不动。
经济学里面还有一个需要理解的概念，经常作为关键题出现在各种力学书里：三个力如果平衡，这三个力就构成三角形的三边；三个力加起来等于零即三个力矢量相加等于零。最终表示成用这三个力的矢量作三边的三角形。
不知道大家对这个概念是什么感觉，但我最开始接触它的时候感觉怪怪的，有几个地方不理解，又说不出来怎么不理解。直到我读了Hermann Grassmann 构造矢量与“线的代数”的过程，我才知道力的矢量和位移的矢量是有定义的：矢量 AB 等于点 A 减点 B。
理解了矢量的定义后，我们来看一下位置对时间的微分等于速度矢量这个等式。等式右边是速度矢量，但左边的矢量是从哪里来的？答案是：矢量从 dx 来。dx 是矢量，x 不是矢量，dx，也就是说位移，是矢量，是两点之差。
从此之后，我们的力学就到了近代。意大利的伽利略是近代科学奠基人。他观察教堂里面吊灯的摆动，发现摆动是周期性的；同时灯油越烧越少、摆锤的质量越来越小但周期不变，说明质量不影响周期。于是他得出第一个定理：单摆的周期和摆锤重量无关。
灯油烧干后我们需要要往里添油，需要把灯从很高的地方一点往下放，放到地上再去添油，这个过程正是单摆的摆绳越来越长的过程。他发现 似乎摆绳越长，摆动周期就越长。周期和摆长到底是什么关系呢？成正比？不像。周期平方和摆长成正比？差不多。于是他得到了第一个物理公式：周期和摆长的平方根成正比。有了这个公式，人类就开始造钟表和计时器。
伽利略还研究什么？他研究运动的起源问题。
他在用木头做的坡上放置小球，球会从一个坡滚到对面坡上。他发现如果在木头上面打蜡，使木头小坡足够光滑，小球从这边滚下去会停在对面相同的高度；如果把这个坡做得再平缓一点，小球滚动时间变长，并且还是滚到和原来相同的高度。
如果我们假设存在极限情况使坡的坡度等于零，这样以来小球为了达到和原来相同的高度会一直向前滚动，但是不管怎么往前运动，它的高度一点也不增加。就像我们现在在社会上做牛马似的，不管我们怎么努力提升自己，结果都是再做无用功。小球也一样，只能永远运动下去。
伽利略把这个叫做惯性运动：没有外力阻挠的时候，一个物体会一直地运动下去。
伽利略还发现了运动的相对论。简单说就是，在一个匀速运动的体系里，比方说在水上漂的大船，它里面发生的力学现象和地面上发生的力学现象是一样的，是不受影响的。船上顶上水滴还是直直的掉到底下那个碗里面，小鱼缸里面的几条鱼还是和岸上一游的一样欢快，也没有一个前后方向的分别，这就是伽利略的相对论。
但是伽利略最重要的一个工作是他得到了落体定律，他的实验装置就是右上角这个木质的斜坡。他让一个小球往下滚，沿着斜坡挂着不同的小铃铛，球往下滚的同时碰到铃铛就“叮铃”响一声。
他调整铃铛的位置，使得小球滚下来的时候发出的响声的时间间隔相等，再去量每一段路程两个铃铛的距离，发现每两个铃铛之间的距离比例是1:3:5:7。如果从顶端算起，每一个铃铛距离顶端的距离比例就是1:4:9:16:25，也就是说下落高度是和时间平方成正比的。
这个公式最重要的地方是什么？是这个公式和小球的重量没关系。无论使用什么样的小球滚下来，它的下落高度都和时间平方成正比，和小球的重量没关系。这里我还要强调一点的是：伽利略得到这个公式，实验设计和测量方法都很粗糙，但是这些都不重要，如果是照现在像某些人一样精确地用计算机拟合，就把物理定律给拟合跑了。所以说物理测量也不是越精确越好。
通过这种方式伽利略认识到了不同重量的物体，从高处放下去之后会同时降落，传说他还在比萨斜塔把两个物体放下去，通过实验证明的方法让大家看到、两个物体是同步下落的，让大家都信服了。但实际上非常抱歉的是实验没有办法证明两个不同重量的东西是同时下落的，因为你永远说不清楚什么叫同时下落。
那么伽利略是怎么证明两个物体是同时下落的呢？
他发明了一个叫做thermoscope的实验装置，是一个没有标注的温度仪，有标注就叫温度计。更仔细的来讲，就是玻璃管里面放了一些混合的液体和不同比重的、像泡泡一样的小球。当温度改变的时候，液体的密度发生变化，升温的时候密度变小，原先有些漂浮的泡泡就能掉下去；天冷了，原先掉下去的泡泡又重新浮起来。根据泡泡的漂浮情况，能大概判断天冷了还是天热了。这样一个装置是如何证明不同重量的物体下落是同步的呢？
我们给定一种密度的液体，有些泡泡飘着，有些泡泡很快沉底。如果我们减小液体密度，原先漂浮的泡泡下沉追赶先一步下沉的泡泡；再减小液体密度，又有一批新的泡泡下沉追赶刚才下沉的泡泡。如果我们假设存在某种极限情况，玻璃管内没有介质，那么原先由于液体阻挡而导致泡泡下落快慢差异的因素消失。造成差异的因素消失后，结局就是所有泡泡同步下落，这就证明了不同重量的物体下落是同步的。
但现如今仍然有很多人死脑筋，做各种实验证明这个结论，比方说用高速摄影拍两个液滴确认这两个液滴是不是同步下落的。那么这两个液滴算不算同步下落？实际上是它启发我们倾向于去认为液滴是同步下落的，但是你永远不能证实这一点。
所以我特别想说的是：真正的实验一定是思想性的，是带思想性的实验。最有效的实验室是扛在我们人类肩膀上叫做脑袋的东西。
我们来看一下伽利略自己在《论运动》这本书里面是怎么证明不同重量的物体是同步下落的。他假设有一重一轻两块物体，假设重的东西下落得快，轻的东西下落得慢，这就是原来亚里士多德的理论。现在假设把这两块物体粘一起，它就比原来这两个物体都重，按刚才的逻辑它应该下落得最快。
可是大家仔细想一下，原来两个物体一个下降得快一个下降得慢，粘在一起后却下降得更快了，这不符合逻辑是不是？就像我们都知道大人走路快，小孩走路慢，早晨去送小孩去幼儿园，牵着小孩一起走路却比自己一个人走得还快，这不符合常识。所以亚里士多德的理论是错的，重的东西和轻的东西同步下落，两者粘在一起后仍然同步下落，这样才没有逻辑矛盾，这个才叫做实验。
简单的下落也会引出很多学问，由垂直下落我们总结出了机械能守恒，这些我稍后再细讲。关于平抛运动，你会发现它是自由下落加上平抛的惯性运动的矢量之和。如果还有空气阻力的话，还要计算上空气阻力。
从一点抛出一个东西，如何落到你想落到的这个点，都会发展出专门的一门学问，这门学问叫弹道学。大家也知道我们的解放军里是有专门的炮兵学校，其中弹道学是非常重要的一门学科。
说完地上的运动，我们现在看天上的运动，天上的运动，天上有一批流浪者 Planet ，我们管它叫行星。
一开始我们觉得行星轨道都是圆形的，是完美的圆形，后来发现不是那么完美。托勒密就用圆上摞动圆的方式加以修改，这就是天文学里面的均轮-本轮体系。大家都知道，行星在天上运动没有留下实际的痕迹，我们关于行星运动轨迹的数据误差是很大的。因此有人就猜测轨道也许是和鸡蛋相似的卵形线，但是那个时候没有人给出卵形线的方程。
在1609年 Kepler 指出行星轨道可能是椭圆。两百年后 14 岁的Maxwell第一次写出了卵形线方程。说一句题外话，幸亏 200 年以后才有卵心线方程，如果 200 年前就有卵形线方程，用卵形线去研究行星运动的话，行星轨道可能研究不出来了。
我们研究天上的运动的参照点是哪儿？参照点一定是我们脚下。在地球上我们看到火星的轨迹就是这个图里这个样子，这么复杂图，让你写出它的方程，大家想怎么可能呢？
这时候我们就发现我们还有关于太阳的轨道数据，虽然不可以严格相减，但你凑合一下把火星的轨道数据减去太阳轨道的数据，就相当于把参照点从脚下挪到太阳上，就会发现这几个行星的轨道是简单的闭合轨道，就有点像我们操场上的跑道了，一下子就简单多了。
虽然是很简单的一个步骤，但给我们带来了一个很重要的思想：朴素的相对论思想。什么意思？简单来说就是运动不会因为你参照点变了它就变了，但是运动的样子又确实因为你的参照点变了它就变了。
所以我希望大家能理解这里面的道理：同一个人，你从不同观点角度去观察他也是不一样的；但是他还是这同一个人，他应该有不变的地方。所以这就引入了一个重要的科学研究方法：变换。关于什么是变换我们之后再讨论，重要的是我们要学会用变换的方式去研究科学问题。
到此为止关于天上行星运动就有了日心说，以太阳为中心。早先是地心说，以地球为中心。传说布鲁诺伽利略等等努力维护日心说，最后日心说战胜了地心说，但实际上事情不是那么简单的。
伽利略不是证明了日心说，伽利略自己用望远镜观测到木星有4个环绕木星的卫星。虽然月亮是绕我们地球转的，我们觉得行星是绕太阳转的，可是木星有4个小家伙，它是绕着木星转的，也就是说宇宙里好像哪里都存在中心。所以说在伽利略的时代，重要的不是日心说战胜了地心说，而是是中心说的消解。换句话说宇宙没有特定的中心，很多地方对于当地发生的情况都是中心。
看到这一点我就特别总结了一句：我立足处就是宇宙的原点，你立足的地方也是宇宙的原点，我尊重我立足的地方是宇宙的原点，也要要尊重在别人眼里人家立足处也是宇宙的原点。不是宇宙中心说，不是地方中心说，而是无中心说。但是这个无中心说最终也还是要引出了中心，也就是说当我们描述世界的时候，参照点这个事情还是一直在的，不能忽略。
在伽利略的时代，波兰人哥白尼就总结出了行星三定律：行星的轨道就是圆上摞 圆，是均轮-本轮的理论； 太阳大约在各种轨道的中心，即日心说； 行星在主轨道上也就是均轮之上，速度应该是个常数。 这是哥白尼的行星运动三定律。
到了开普勒时代，根据丹麦人第谷的更加精确的数据，他总结出了开普勒的行星运动三定律：行星轨道是以太阳为焦点之一的椭圆；行星到太阳的连线，单位时间扫过的面积在天上扫过的面积是相等的；轨道周期的平方和轨道的大小或者叫长轴或者长半轴的三次方之比是恒定的。这就是书里说的开普勒的行星三定律。
如果我们细究一下，就会发现这里面有很多的问题。首先我们得知道这些内容阐述在哪里。
开普勒给我们留下一个一本非常有名的书，叫《Harmonices Mundi》，一般翻译成《宇宙的和谐》，但翻译可能理解错了，这本书实际讲的是宇宙是怎么组装的。这个插图用各种多边形的互相囊括，来阐述不同信息的轨道是如何互相包容的，以此谈论天空上的宇宙是怎么组装的问题。
当然这和和谐是有关系的。音乐合奏也是和谐的一种，把不同的声音凑到一起组装的挺好，让你很舒服。所以说当我们用和谐这个词去翻译 harmony 的时候，请大家记一定不要忘了组装的意思。
因为在我们学的物理里面，大部分谈论的都是组装。除了刚才说的学的宇宙怎么组装的，固体物理学简谐振子也是组装。你找到一个方向，这个方向不同原子组装成一个单一频率振动的框构架，这个叫单谐振动。还有量子力学数理方程的球谐函数。我每次听人说起球谐函数，我都想起来穿球鞋。
实际上球谐的含义是这样：一套函数你用几个凑一起就安装出一个球对称的分布，再用几个又安装一套球对称的分布，你就能够理解原子外面电子的球壳模型，因为每一个壳层用的球形函数，那几个函数加起来就能够得出了一个球面对称的分布。所以说我们理解这个词以后，理解问题就容易多了。
发现这样伟大的新型三定律，开普勒心情是什么样子的呢？我们现在很多同学觉得最高兴的事就是能发一篇 Nature、发一篇 Science，但开普勒是怎么表达自己发现三定律的心情呢？他说：我胜过你们人类。
